A
origem da regra de três
A
origem da regra de três
Estuda-se
em proporção a relação entre grandezas. Em alguns casos
vemos que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, o
aumento de uma implica o aumento da outra, em outros, inversamente
proporcionais, isto é, o aumento de uma implica a redução da
outra. Seja em quaisquer dos casos anteriores, podemos resolver
grande parte dos problemas relacionados às grandezas proporcionais
utilizando regra de três simples ou composta.
O
conhecimento e a utilização de conceitos semelhantes à regra de
três são muito antigos, tendo sua provável origem na China antiga,
podendo ser observados em tempos muito distantes. Vários problemas
envolvendo manipulações muito próximas do que hoje conhecemos como
regra de três podem ser vistos no Papiro Rhind, documento
confeccionado no Egito há cerca de 3000 anos. Mais recente que o
Papiro Rhind, o livro Liber Abaci do matemático italiano Leonardo
Fibonacci (1175-1250) revela vários problemas envolvendo a regra de
três.
O
matemático árabe al- Khowarizmi é o responsável pela primeira
aritmética (livro que contém os princípios da aritmética) árabe
de que se tem notícia. Outras aritméticas surgiram e todas
procuraram ensinar regras para calcular, sempre utilizando os
algarismos hindus. Você já ouviu falar de um processo de nome
"noves fora "? Esse é um processo das aritméticas
desenvolvidas peos árabes. No livro Introdução à História da
Matemática há menção de que a conhecida regra de três também
fazia parte dessas aritméticas. A regra de três, que provavelmente
se originou na China antiga, alcançou a Arábia através da India,
onde Brahmagupta e Bháskara a tratavam por essa mesma designação.
Durante séculos a regra recebeu a mais alta consideração da parte
dos mercadores. Ela era enunciada mecanicamente, sem nenhuma
justificação, e seus vínculos com as proporções só foram
conhecidos ao fim do século XIV. Eis como Brahmagupta enunciava a
regra: "Na regra de três, os nomes dos termos são Argumento,
Fruto e Requisito. O primeiro e último termos devem ser semelhantes.
Requisito multiplicado por Fruto e dividido por Argumento é o
Produto".
Fang
Tian (Medição de Terrenos)
O
primeiro capítulo lida principalmente com cálculo de áreas de
terrenos planos ou não e apresentam também problemas envolvendo
frações e regras para operar com elas.
Sumi
(Milho, Miúdos e Arroz) e Cui Fen (Distribuição por Proporções)
São
o segundo e terceiro capítulos que apresentam a regra de três,
porcentagem e problemas sobre distribuição.
Apesar
de sua criação ser tão remota, as aplicações relativas à regra
de três são as mais variadas. Tratando da matemática utilitária,
podemos dizer que a regra de três é primordial a nossa vida, pois
soluciona questões corriqueiras com muita simplicidade e economia de
tempo.
Vejam
abaixo alguns problemas envolvendo regra de três simples e composta,
direta e inversamente proporcionais.
-
Um quilo (usarei “quilo” simplificadamente para representar quilograma (Kg)) de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito para fazer 18 pães?
-
Quatro pedreiros constrói uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros construirá a mesma casa em quanto tempo?
-
Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens levarão quantos dias para montar 50 máquinas?
-
Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho?
Ainda
neste artigo, em momento oportuno, solucionaremos os problemas
propostos acima.
Grandezas diretamente proporcionais
Dizemos
que duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento de
uma implica o aumento da outra. Ao dobrarmos uma grandeza, a outra
também será dobrada, ao triplicarmos uma, a outra também será
triplicada. Em outras palavras, grandezas diretamente proporcionais
variam sempre na mesma razão.
Vejam
o exemplo
|
NÚMERO
DE PESSOAS DE CERTA FAMÍLIA
|
DESPESA
SEMANAL COM ALIMENTAÇÃO (R$)
|
RAZÃO
|
|
4
|
200
|
1/50
|
|
5
|
250
|
1/50
|
Observação:
A
tabela acima é meramente ilustrativa e supõe que com o ingresso de
mais um membro nesta família aumentará proporcionalmente sua
despesa semanal.
Grandezas
inversamente proporcionais
Duas
grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma
implica na redução da outra, ou seja, quando dobramos uma delas, a
outra se reduz a metade; quando triplicamos uma delas, a outra fica
reduzida a terça parte, etc.
Os
números racionais x, y e z são inversamente proporcionais aos
números racionais a, b e c, respectivamente, quando se tem: x . a =
y . b = z . c
Veja
o exemplo
|
NÚMERO
DE OPERÁRIOS DE CERTA OBRA
|
DIAS
GASTOS PARA CONCLUI-LA (DIAS)
|
RELAÇÃO
x.a = y.b
|
|
12
|
60
|
12
. 60 = 720
|
|
6
|
120
|
6
. 120 = 720
|
Razão:
12/6
= 2/1
60/120
= 1/2
Note
que 12/6 e 60/120 possuem razões inversas, isto é, 2/1 é o inverso
de 1/2.
Regra de três simples
Quando,
em uma relação entre duas grandezas, conhecemos três valores de um
problema e desconhecemos apenas um, poderemos chegar a sua solução
utilizando os princípios da regra de três simples. Para isso, basta
que multipliquemos os meios entre si e os extremos também entre si.
Acompanhem:
Exemplo:
os
números 6 e 10 são diretamente proporcionais a 12 e x
respectivamente. Nessas condições, vamos encontrar o valor de x que
torne essa afirmação verdadeira.
Vamos
à solução dos problemas (1) e (2) propostos no início deste
trabalho.
(1)
Um
quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De
quanta farinha necessito para fazer 18 pães?
● Vamos
chamar o valor desconhecido de x
emontar
uma tabela contendo os valores.
Inicialmente
teremos que analisar se as grandezas quantidade
de farinha de trigo e
número
de pães
são inversa ou diretamente proporcionais.
-
Se duplicarmos a quantidade de farinha de trigo, a quantidade de pães também duplicará. Se triplicarmos a farinha, os pães também serão triplicados, e assim por diante. Sendo assim, somos levados a concluir que essas duas grandezas são diretamente proporcionais;
-
Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com o quadro acima e partir para sua solução;
-
As flechas no mesmo sentido indicam que as grandezas são diretamente proporcionais.
Conclusão:
para fazer 18 pães precisaremos de 1,5 kg de farinha de trigo.
(2)
Quatro
pedreiros constroem uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros
construirão a mesma casa em quanto tempo?
● Vamos
chamar o valor desconhecido de x
emontar
uma tabela contendo os valores.
Como
no caso anterior, teremos que analisar se as grandezas quantidade
de pedreiros e
dias
gastos na construção
são inversa ou diretamente proporcionais.
-
Se aumentarmos o número de pedreiros, a duração da obra será reduzida, portanto, essas grandezas são inversamente proporcionais;
-
Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com o quadro acima e partir para sua solução;
-
Como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter uma das frações;
-
As setas contrárias indicam que as grandezas são inversamente proporcionais.
Conclusão:
se
reduzirmos o número de pedreiro a dois, teremos a obra concluída em
180 dias.
Regra de três composta
Quando
trabalhamos com três grandezas, direta ou inversamente proporcionais
e, num determinado problema, existem seis valores, dos quais cinco
são conhecidos e apenas um desconhecido, pode-se encontrar o valor
da incógnita através da regra de três composta.
Vamos
à solução dos problemas (3) e (4) propostos no início deste
trabalho.
(3)
Se
8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas
condições, 15 homens levarão quantos dias para montar 50 máquinas?
● Vamos
chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela contendo os
valores:
Analisemos
as grandezas a fim de saber se são direta ou inversamente
proporcionais entre si.
-
Fixando a grandeza quantidade de homens, vamos relacionar as grandezas tempo de montagem com número de máquinas. Se dobrarmos o tempo de montagem, dobraremos o número de máquinas. Logo, essas duas grandezas são diretamente proporcionais.
-
Fixando a grandeza número de máquinas, vamos relacionar as grandezas quantidade de homens com tempo de montagem. Se dobrarmos o número de homens, teremos reduzido à metade o tempo de montagem. Logo, essas duas grandezas são inversamente proporcionais.
-
Sabendo dessas informações, basta escrevermos a proporção de acordo com a tabela acima;
-
Como temos grandezas inversamente proporcionais, devemos inverter uma das frações;
Conclusão:
Com
15 homens, serão construídas 50 máquinas em 20 dias.
(4)
Trabalhando
6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo
tipo serão produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho?
● Chamaremos
o valor desconhecido de x:
Vamos
fazer a análise dos dados contidos na tabela acima.
-
Fixando a grandeza dias de trabalho, vamos relacionar as grandezas número de operários com quantidade de peças. Ao dobrarmos o número de operários, dobraremos também o número de peças fabricadas. Dessa forma, essas duas grandezas são diretamente proporcionais;
-
Fixando a grandeza número de operários e relacionando as grandezas dias de trabalho com quantidade de peças, temos: ao dobrarmos o número de dias de trabalho, dobraremos também a quantidade de peças produzidas, ou seja, estas grandezas também são diretamente proporcionais;
-
Portando esses dados, deveremos escrever a devida proporção de acordo com a tabela acima;
-
Como temos grandezas diretamente proporcionais, manteremos as frações em suas formas originais.
Conclusão:
com 7 operários, em 9 dias serão produzidas 840 peças.
Três erros mais comuns cometidos na regra de três
1.
Erros de Matemática Básica
Os
erros que os estudantes mais cometem estão relacionados a algum
conteúdo de Matemática básica. Para resolver exercícios com regra
de três,
é necessário que o aluno conheça bem: frações,
equações,
operações básicas, jogo de sinais e propriedade
fundamental das proporções.
Geralmente,
esses erros são cometidos apenas por falta de atenção, mas é
preciso questionar: “Realmente
sei matemática básica?”.
Se não, é necessário estudar!
2. Não interpretar corretamente o problema
A
interpretação
errada da questão é mais comum do que se imagina. Veja um exemplo:
O
segmento
AD do triângulo
a seguir é bissetriz do ângulo Â. Nessas condições, calcule o
comprimento do lado BC.
Para
encontrar o comprimento do segmento BC, precisamos descobrir o
comprimento do segmento CD para somá-lo com 6,71, que é o
comprimento de DB. O que a maioria dos alunos faz é o seguinte:
-
Usar o teorema da bissetriz interna dos triângulos para concluir que os segmentos AC, CD, DB e BA são proporcionais;
-
Usar a proporcionalidade (que também pode ser compreendida como uma regra de três, pois tem o mesmo formato) para montar a seguinte igualdade:
3
= 6
x 6,71
x 6,71
-
Usar a propriedade fundamental das proporções ou conhecimentos de equações para encontrar o valor de x:
6x
= 3·6,71
6x
= 20,13
x
= 20,13
6
6
x
= 3,355
-
Como x = CD, basta somar esse valor com 6,71 para encontrar o comprimento de BC:
3,355
+ 6,71 = 10,065
O
objetivo da maioria dos alunos é encontrar o valor de x. O aluno que
relê o problema sabe que ainda há um passo a ser cumprido.
3. Não montar a regra de três na ordem correta
Toda
regra de três
pode ser compreendida como uma proporção.
Assim, sempre existe uma ordem que deve ser seguida na montagem das
resoluções dos problemas. Para ilustrar essa ordem, observe o
exemplo a seguir:
Um
automóvel desloca-se a 80 km/h. Nessa velocidade, percorrerá 40 km
em determinado período de tempo. Se esse mesmo automóvel estiver a
120 km/h, quantos quilômetros percorrerá no mesmo período de
tempo?
Solução
O
primeiro passo é analisar se as grandezas
são direta
ou inversamente
proporcionais. Nesse caso, são diretamente proporcionais,
pois, aumentando-se a velocidade desenvolvida, aumenta-se também a
distância percorrida. Note que esse passo depende totalmente da
interpretação do problema.
O
segundo passo é montar a regra
de três.
Isso pode ser feito de diversas maneiras, mas as frações usadas
devem seguir uma ordem. Para tanto, crie uma tabela para relacionar
velocidade com distância percorrida. Veja um exemplo:
Veja
como montar a
regra de três
a partir da tabela acima:
80
= 40
120 x
120 x
Existem
muitas maneiras de construir essa tabela corretamente e, por isso,
muitos modos corretos de calcular a regra
de três.
O que não podemos fazer é colocar uma das velocidades no lugar em
que deveríamos colocar uma distância, por exemplo. Isso quebraria a
ordem e levaria ao erro.
A
resolução completa desse exemplo é a seguinte:
80
= 40
120 x
120 x
80x
= 40·120
80x
= 4800
x
= 4800
80
80
x
= 60
Logo,
60 km serão percorridos a 120 km/h.
Fontes
A
origem da regra de três. In: http://matematicaanisio.blogspot.com/2011/11/origem-da-regra-de-tres.html
Parabéns pelo excelente trabalho e por compartilhar! Deus o abençoe.
ResponderExcluirAMÉN foi ótimo estudar com voce
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